Author Description

Le numro 14 de la collection des Dossiers mathmatiques propose de voyager dans l''univers poustouflant des nombres, en s''intressant tout spcialement la dynamique de leur construction. Ce livre n''est pas un livre gnraliste sur les nombre. Il contiendra quelques indications historiques, certes, mais l n''est pas son objet principal. Ce livre propose une construction rigoureuse rserve aux mathmaticiens: celle des ensembles des nombres entiers naturels N, suivie par la construction de l''anneau des entiers relatifs Z, pour alors ressentir la ncessit d''aller au-del et construire proprement l''ensemble Q des nombres rationnels, celui-ci mme que manipulaient les glorieux mathmaticiens grecs de l''antiquit. Le voyage continue avec la construction de R par les suites de Cauchy, pour culminer avec celle du corps des nombres complexes C aux nombreuses qualits. La ligne directrice de cet ouvrage est un vritable fil d''Ariane dfini par les constructions successives de ces ensembles qui demanderont presque toutes d''utiliser un outil fondamental des mathmatiques: les classes d''quivalences et les ensembles quotients. Mise part la dfinition axiomatique de N, rappele et dtaille pour qu''on s''en imprgne -- puisqu''elle est la base de tout, et permet in fine de justifier beaucoup de raisonnements labors qui seront autant de questions poses en cascade par les jurys des concours de recrutement de l''ducation nationale comme le CAPES ou l''agrgation -- toutes les constructions qui suivent, celles de Z, Q, R, C seront possibles en utilisant des classes d''quivalence choisies avec discernement. Dans ce livre, il ne s''agit pas de commencer compter sur ses doigts ni retourner l''antiquit, mais montrer une construction axiomatique des nombres telle qu''on l''a dcouverte au XX^{e} sicle, en mettant l''accent sur la mthode systmatiquement employe: celle qui utilise la notion de classe d''quivalence. Ce livre s''adresse aux tudiants de seconde anne de licence de mathmatiques qui