Author Description

Ce livre permet de s'initier au calcul algébrique dans les corps finis pour se préparer à l'agrégation interne et accumuler facilement des connaissances dans cette partie importante des mathématiques.En prérequis, il est demandé de posséder quelques connaissances sur les structures algébriques et l'algèbre générale vues en licence, des savoirs qui seront réinvestis avec profit tout au long de cet ouvrage. Les corps finis jouent un rôle fondamental en cryptographie et en théorie du codage de l'information, et ce livre peut aussi être considéré comme un prérequis pour bien comprendre certains passages des volumes 9 et 10 de la collection des DOSSIERS. Le premier chapitre présente toutes les connaissances dont on a besoin pour comprendre la construction des corps finis: les éléments algébriques ou transcendants, le procédé fondamental d'adjonction symbolique d'une racine, l'existence du corps des racines d'un polynôme puis celle de la clôture algébrique d'un corps commutatif. Le second chapitre est une digression agréable permettant de découvrir ou se remémorer trois applications remarquables de la notion d'extension algébrique. Le lecteur pressé pourra passer directement au chapitre 3 qui est central et contient l'étonnant théorème d'existence et d'unicité d'un corps fini. Les chapitres 4, 5 et 6, indépendants entre eux, peuvent être lus dans l'ordre que l'on désire. Pour terminer cette incursion dans l'algèbre corporelle finie, on pourra s'entraîner sur le très joli problème d'agrégation interne 2015 proposé dans sa totalité au chapitre 7. On pourra aborder ce problème avec tout le recul et les connaissances nécessaires pour en tirer profit et découvrir une construction explicite d'une extension de Fp incluse dans l'ensemble des matrices carrées de taille 2 à coefficients dans Fp. Les notions sont abordées progressivement, avec beaucoup d'explications pour rendre la visite agréable, et de nombreux compléments sont proposés en annexe afin de profiter de chaque occasi